Dating > Поурочные разработки по алгебре 8 класс макарычев скачать бесплатно
Last updated
Download links: → Поурочные разработки по алгебре 8 класс макарычев скачать бесплатно → Поурочные разработки по алгебре 8 класс макарычев скачать бесплатно
Формирование умений и навыков. Вывод этой формулы проводится согласно пункту учебника. Почленно сложив равенства и , получим.
Как привести дробь к новому знаменателю? В пособии учитель найдет все, что необходимо для подготовки к урокам: подробные поурочные разработки, методические советы и рекомендации, творческие задания, тексты и разбор контрольных в трех уровнях сложности и зачетных работ. Каждый урок разбивается на ряд этапов. Применим приведённое правило вычитания дробей и получим:. Аналогично доказывается, что x 2 и x 3 — взаимно-обратные числа. В а р и а н т 2 Упростить выражение: а ; б. Итак, чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тем же. Важно, чтобы учащиеся запомнили этот алгоритм, а также желательно, чтобы они начали запоминать формулу корней. Алгебраическим выражением называется выражение, составленное из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и с помощью скобок. Р е ш е н и е Это задание может вызвать затруднения у учащихся. Сложение и вычитание дробей с противоположными знаменателями 18 Урок 8.
Проанализировать и исправить ошибки, допущенные учащимися при решении контрольной работы. В о п р о с ы у ч а щ и м с я: — Сформулируйте правила действий с дробными выражениями. При сравнении квадратного корня с рациональным числом можно это число записать в виде корня.
Поурочные разработки по алгебре. 8 класс - Каким свойством мы воспользовались при сокращении дробей и приведении дробей к новому знаменателю? Оба корня удовлетворяют условию задачи.
Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога утверждён Приказом Минтруда России , если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки! У р о к 1 Понятие рациональной дроби Цели: ввести понятия «дробное выражение» и «рациональная дробь»; формировать умение находить значения рациональных дробей при заданных значениях переменных. Объяснение проводить согласно пункту учебника, обращая внимание на усвоение учащимися основных понятий. Для контроля предложить учащимся задание на распознавание различных рациональных выражений. Какие из следующих рациональных выражений являются целыми, а какие — дробными? Вопрос о допустимых значениях переменных, входящих в рациональное выражение, целесообразно подробно изучить на следующем уроке. Формирование умений и навыков. При вычислениях необходимо следить, чтобы учащиеся грамотно и подробно выполняли все записи. В случаях затруднения учащихся при выполнении этих заданий нужно напомнить им, что для выражения переменной из формулы достаточно рассматривать эту переменную как неизвестную величину. В о п р о с ы у ч а щ и м с я: — Какое выражение называется целым? У р о к 2 Допустимые значения переменных, входящих в дробное выражение Цели: формировать умение находить допустимые значения переменных, входящих в дробные выражения. Объяснение нового материала происходит в т р и э т а п а: 1. Рассмотрение вопроса о том, всегда ли рациональная дробь имеет смысл. Вывод правила нахождения допустимых значений переменных, входящих в рациональную дробь. При актуализации знаний учащимся можно задать следующие в о п р о с ы: — Какую дробь называют рациональной? Для выяснения вопроса о допустимых значениях переменных, входящих в рациональную дробь, можно предложить учащимся выполнить задание. Это позволяет им сделать следующий в ы в о д: в рациональную дробь нельзя подставлять числа, которые обращают её знаменатель в нуль этот вывод должен быть сформулирован и произнесён вслух самими учащимися. После этого учитель сообщает учащимися, что все значения переменных, при которых рациональное выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных. Далее ставится вопрос: как находить допустимые значения переменных? При поиске ответа на этот вопрос учащиеся должны сформулировать р я д в о п р о с о в: 1 Если выражение является целым, то все значения входящих в него переменных будут допустимыми. Найденные числа не будут являться допустимыми значениями. Формирование умений и навыков. Ответ на вопрос о допустимых значениях переменных, входящих в дробное выражение, может звучать по-разному. И та и другая формулировки являются верными, главное — следить за правильностью оформления. При выполнении этих заданий следует обратить внимание учащихся на необходимость учёта допустимых значений переменных. Следить за обоснованием всех рассуждений. Из всех дробей с одинаковым положительным числителем большей будет та, у которой знаменатель является наименьшим. То есть необходимо найти, при каком значении а выражение а 2 + 5 принимает наименьшее значение. Рассуждая аналогично, получим, что необходимо найти то значение а , при котором выражение а — 3 2 + 1 принимает наименьшее значение. Для ответа на вопрос предварительно нужно преобразовать выражение, стоящее в знаменателе дроби. Дробь будет принимать наибольшее значение, если выражение 2 х + + у 2 + 9 принимает наименьшее значение. Поскольку 2 х + у 2 не может принимать отрицательные значения, то наименьшее значение выражения 2 х + у 2 + 9 равно 9. В о п р о с ы у ч а щ и м с я: — Какие значения называются допустимыми значениями переменных, входящих в выражение? Приведите примеры таких дробей. У р о к 3 основное свойство дроби Цели: вывести основное свойство дроби, формировать умение его применять. Найдите значение переменной, при котором значение дроби равно нулю. Найдите допустимые значения переменной в выражении: а ; б ; в. Найдите значение переменной, при котором значение дроби равно нулю. Найдите допустимые значения переменной в выражении: а ; б ; в. Что значит сократить дробь? Для этого разделим числитель и знаменатель на их общий множитель. Как привести дробь к новому знаменателю? Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на 4:. Каким свойством мы воспользовались при сокращении дробей и приведении дробей к новому знаменателю? Сформулируйте основное свойство дроби. После этого можно перейти к буквенной записи основного свойства дроби, которая выносится на доску. Далее необходимо выделить д в а т и п а з а д а н и й, при выполнении которых применяется основное свойство дроби: — приведение дробей к новому знаменателю; — сокращение дробей. Формирование умений и навыков. Умножьте числитель и знаменатель дроби на указанное число. Разделите числитель и знаменатель дроби на указанное число: а на 2; б на 3; в на 5. Заполните пустые места так, чтобы равенство было верным: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6. В о п р о с ы у ч а щ и м с я: — В чём состоит основное свойство рациональной дроби? Для успешной работы учащихся на уроке им необходимо не только использовать основное свойство дроби, но и применять ряд других знаний и умений, полученных и сформированных ранее. Учащиеся должны помнить формулы сокращенного умножения и основные приёмы разложения многочлена на множители. Поэтому начать необходимо с актуализации знаний и умений. Какие существуют способы разложения многочлена на множители? В чём состоит каждый из этих способов? После проведения этой работы следует разобрать пример 3 из учебника и сделать в ы в о д: чтобы сократить рациональную дробь, нужно сначала разложить на множители её числитель и знаменатель. Формирование умений и навыков. Сократим дробь, задающую функцию:. Графиком функции является прямая, а графиком функции — та же прямая, но с «выколотой» точкой —5; —5. В о п р о с ы у ч а щ и м с я: — В чём состоит основное свойство дроби? Приведите дроби к указанному знаменателю: а ; б ; в. Сократите дробь: а ; б. Приведите дроби к указанному знаменателю: а ; б ; в. Сократите дробь: а ; б. Специальное внимание на этом уроке необходимо уделить следствию из основного свойства дроби. При объяснении материала следует провести аналогию с обыкновенными дробями. Для этого целесообразно предложить учащимся выполнить з а д а н и е: среди данных дробей найти такие, которые равны ; ответ объяснить. Здесь же следует вспомнить, что «минус» перед дробью можно записывать как перед числителем, так и перед знаменателем. Для этого дать учащимся такое задание: среди данных дробей найти такие, которые равны ; ответ объяснить. После выполнения этих заданий можно перейти к буквенной записи следствия из основного свойства дроби: Необходимо, чтобы учащиеся знали и осознавали формулировку этого следствия. В случае затруднений можно продемонстрировать практическое применение следствия и дать его более прикладную к задачам формулировку: 1. «Минус» перед дробью можно вносить либо в числитель, либо в знаменатель дроби. «Минус» из числителя или знаменателя дроби можно выносить за знак дроби. Формирование умений и навыков. Поэтому следует привести подробную запись преобразований: а. В о п р о с ы у ч а щ и м с я: — В чём состоит основное свойство дроби? У р о к 6 Правило сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями Ход урока I. Устная работа дает возможность актуализировать знания учащихся о сложении и вычитании обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями. После этой работы следует сообщить учащимся, что рациональные дроби с одинаковыми знаменателями складываются и вычитаются по тем же правилам, которые учащиеся способны сформулировать самостоятельно. После формулировки правил на доску выносится их буквенная запись: и. Далее следует рассмотреть примеры 1—3 из учебника. Вопрос о сложении и вычитании дробей с противоположными знаменателями целесообразно рассмотреть на следующем уроке. Формирование умений и навыков. При вычитании дробей учащиеся могут допускать распространенную ошибку: не учитывать, что «минус» перед дробью вносится в числитель, и неправильно расставлять знаки. Поэтому важно следить, чтобы первое время учащиеся вели подробные записи. В о п р о с ы у ч а щ и м с я: — Сформулируйте правило сложения рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. У р о к 7 Сложение и вычитание дробей с противоположными знаменателями Цели: формировать умение складывать и вычитать рациональные дроби с противоположными знаменателями. Сначала необходимо, чтобы учащиеся вспомнили следствие из основного свойства дроби, и предложить им выполнить задание, в котором нужно поменять знак числителя или знаменателя рациональной дроби. Затем продемонстрировать пример 4 из учебника и сделать вывод о том, как сложить или вычесть две рациональные дроби с противоположными знаменателями. Формирование умений и навыков. Выполните сложение или вычитание дробей: а ; в ; б ; г. Преобразуйте выражение: а ; б ; в ; 4. Полученное выражение принимает натуральные значения, если дробь является натуральным числом, то есть когда 6 делится на п. В о п р о с ы у ч а щ и м с я: — Сформулируйте правило сложения и вычитания рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. В а р и а н т 1 Выполнить сложение и вычитание дробей: а ; г ; б ; д. Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю зачастую вызывает у учащихся трудности. При объяснении этого вопроса можно использовать аналогию с обыкновенными дробями. В процессе проведения устной работы у учащихся была возможность вспомнить, как найти общий знаменатель обыкновенных дробей. После устной работы следует выделить три случая, которые возникают при нахождении общего знаменателя, и привести аналогичные примеры с алгебраическими дробями. Знаменатели дробей не имеют общих делителей. В этом случае наименьший общий знаменатель равен произведению знаменателей дробей. Знаменатель одной из дробей является делителем знаменателя второй дроби. В этом случае знаменатель, который делится на другой, является наименьшим общим знаменателем дробей. Знаменатели дробей имеют общие делители, но знаменатель одной из дробей не является делителем знаменателя другой дроби. В этом случае наименьший знаменатель состоит из нескольких множителей: общего делителя дробей и результатов деления на этот делитель. Формирование умений и навыков. Важно, чтобы учащиеся осознавали это и использовали в дальнейшем при выполнении действий с рациональными дробями. В о п р о с ы у ч а щ и м с я: — Как найти общий знаменатель дробей, если их знаменатели не имеют общих делителей? У р о к 9 Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями Цели: продолжить формирование умения складывать и вычитать рациональные дроби с разными знаменателями. Формирование умений и навыков. И г р а «Дешифровщик». Помимо христианства и ислама, существует еще такая религия, как буддизм. Эта религия возникла в Древней Индии в VI—V веках до нашей эры. Сейчас буддизм распространен в Азии, его приверженцами являются несколько сотен миллионов человек. В отличие от других культов, священнослужителями здесь могут стать и мужчины, и женщины. Если вы верно упростите выражения и замените результаты соответствующими буквами, то узнаете, как называют буддийского священнослужителя. Некоторым сильным в учебе учащимся можно дать задание по карточкам. В о п р о с ы у ч а щ и м с я: — Как найти общий знаменатель двух рациональных дробей? У р о к 10 Сложение и вычитание рациональной дроби и целого выражения Цели: формировать умение выполнять сложение и вычитание рациональных дробей и целых выражений; продолжить формирование умения преобразовывать рациональные дроби. При объяснении целесообразно использовать аналогию с числовыми выражениями. Вначале предложить учащимся выполнить сложение: 2 + Им известно, что любое целое число может быть представлено в виде дроби со знаменателем 1. Очевидно, что общим знаменателем этих дробей будет b. Заметим, что принцип сложения и вычитания рациональной дроби и целого числа учащиеся могли увидеть и при выполнении устной работы. Далее обратить внимание учащихся, что любой многочлен может быть также представлен в виде рациональной дроби со знаменателем 1. В этом и состоит основная идея сложения и вычитания рациональных дробей и целых выражений. После приведения этих примеров предложить учащимся сделать вывод о том, как складываются вычитаются рациональные дроби с целыми выражениями. Формирование умений и навыков. Все з а д а н и я можно разбить на д в е г р у п п ы: — задания на сложение вычитание рациональных дробей с целыми выражениями; — задания на различные более сложные преобразования дробно-рациональных выражений. Р е ш е н и е Чтобы доказать тождественное равенство данных выражений, нужно преобразовать их. Значит, данные выражения тождественно равны. Запишите данные дроби в виде суммы целого выражения и дроби. В о п р о с ы у ч а щ и м с я: — Как ищется общий знаменатель рациональных дробей? Сократить дробь: а ; б ; в. Представить в виде дроби: а ; б ; в. При каких целых значениях а является целым числом значение выражения? Сократить дробь: а ; б ; в. Представить в виде дроби: а ; б ; в. При каких целых значениях b является целым числом значение выражения? Сократить дробь: а ; б ; в. Представить в виде дроби: а ; б ; в. При каких целых значениях р является целым числом значение выражения? Сократить дробь: а ; б ; в. Представить в виде дроби: а ; б ; в. При каких целых значениях х является целым числом значение выражения? Решение вариантов контрольной работы В а р и а н т 1 1. Чтобы исходное выражение принимало целые значения, нужно, чтобы было целым числом. У р о к 12 Правила умножения рациональных дробей и возведения их в степень Цель: формировать умение умножать рациональные дроби и возводить их в степень. Объяснение проводить, используя аналогию с обыкновенными дробями. В результате учащиеся должны проговаривать правила умножения рациональных дробей и возведения их в степень. Эти правила выносятся на доску. После этого необходимо привести несколько примеров из учебника, показывающих применение данных правил. Формирование умений и навыков. Важно следить за грамотностью и рациональностью выполнения этих заданий. Необходимо объяснить учащимся, что для простоты преобразования дробных выражений желательно в буквенном выражении на первое место ставить коэффициент и располагать буквы, содержащиеся в числителе и знаменателе дроби, в соответствующем порядке. Получим: О т в е т: 14. Некоторым сильным в учебе учащимся можно предложить работу по карточкам. Выполните умножение: а ; б ; в. Выполните умножение: а ; б ; в. В о п р о с ы у ч а щ и м с я: — Сформулируйте правило умножения рациональных дробей. Формирование умений и навыков. Если на прошлом уроке учащиеся выполняли задания на непосредственное применение правила умножения рациональных дробей, то на этом уроке задания направлены ещё и на сокращение полученных при умножении дробей. Самостоятельная работа с последующей проверкой. Учащиеся выполняют задания, отдельно выписывая ответы. После окончания работы обмениваются вариантами и проверяют работу соседа по парте, сравнивая полученные ответы с верными, которые записаны учителем заранее на откидной части доски. О т в е т ы: За каждый верный ответ выставляется 1 балл. В о п р о с ы у ч а щ и м с я: — Сформулируйте правило умножения рациональных дробей. У р о к 14 Правило деления рациональных дробей Цель: изучить правило деления рациональных дробей и формировать умение его применять. Объяснение проводить, используя аналогию с обыкновенными дробями. В результате учащиеся должны уметь формулировать правило деления рациональных дробей. Это правило выносится на доску: После этого необходимо привести несколько примеров из учебника, показывающих применение этого правила. Формирование умений и навыков. На этом уроке учащиеся отрабатывают правило деления рациональных дробей на простых примерах: если числитель и знаменатель делимых дробей являются одночленами. Как и при умножении дробей, выполняя деление, важно следить за рациональностью проводимых учащимися записей. Выполните действия: а ; г ; б ; д ; в ; е. Сильным в учебе учащимся можно дополнительно предложить выполнить задания по карточкам. В о п р о с ы у ч а щ и м с я: — Сформулируйте правило деления рациональных дробей. У р о к 15 Преобразование дробных выражений, содержащих действие деления Цели: продолжить формирование умения выполнять деление рациональных дробей. Формирование умений и навыков. На этом уроке учащиеся выполняют деление дробей, у которых числитель и или знаменатель являются многочленами, то есть им пригодится умение раскладывать многочлен на множители и сокращать дробь. Выполните деление: а ; в ; б ; г. И г р а «Дешифровщик». Когда астрономы начали исследование Вселенной с помощью радиотелескопов, они обнаружили, что многие звёзды меняют интенсивность и частоту излучаемых ими волн. Однако некоторые из звёзд испускают постоянный поток волн, который меняется только в зависимости от времени. Долгое время ученые не могли объяснить природу этого явления. Говорили, например, что это — радиостанции, с помощью которых неизвестные нам разумные существа ищут во Вселенной собратьев по разуму. Но исследования, проведенные с помощью искусственных спутников Земли, показали, что эти звёзды являются просто звёздами огромной величины и состоят из раскаленной материи. Вы узнаете, как называются эти необычные звёзды, если правильно выполните все задания и составите слово из полученных букв. Учащиеся выполняют задания по вариантам: первый вариант получает первую, третью, пятую и седьмую буквы данного слова, а второй — вторую, четвёртую, шестую и восьмую. З а д а н и е: выполните действия. О т в е т: ПУЛЬСАРЫ. В о п р о с ы у ч а щ и м с я: — Сформулируйте правило деления рациональных дробей. У р о к 16 Совместные действия с рациональными дробями Цели: формировать умение упрощать выражения, содержащие различные действия с рациональными дробями. Учащиеся к данному моменту должны уметь выполнять все действия с рациональными дробями, поэтому задания на преобразование дробных выражений не должны вызывать у них затруднений. Необходимо разобрать примеры 1 и 2 из учебника. Вопросы о преобразовании «многоэтажных» дробей и вычислении среднего гармонического ряда целесообразно рассмотреть на следующих уроках. Формирование умений и навыков. На первых порах необходимо подсказывать учащимся, как рациональнее выполнять преобразования и как удобнее вести записи. Важно, чтобы учащиеся осознали, что преобразования можно выполнять как по действиям, так и «цепочкой». Выбор способа зависит от особенностей дробных выражений, а также от личного желания учащихся. В о п р о с ы у ч а щ и м с я: — Как выполнить сложение или вычитание нескольких рациональных дробей? У р о к 17 Совместные действия с рациональными дробями Цель: продолжить формирование умения выполнять преобразования на совместные действия с дробями. Формирование умений и навыков. Таким образом, исходное выражение принимает значение —1 при любых значениях переменных х и у. В классе с высоким уровнем подготовки можно выполнить некоторые более сложные задания. Р е ш е н и е — Сначала упростим данное выражение. Таким образом, эти выражения тождественно равны. Некоторым сильным в учебе учащимся можно дополнительно дать задания по карточкам. Р е ш е н и е Данное выражение лучше преобразовать «цепочкой», при этом рациональнее будет сначала раскрыть скобки:. В о п р о с ы у ч а щ и м с я: — Как выполнить сложение или вычитание рациональных дробей? У р о к 18 Преобразование дробных выражений Цель: формировать умение преобразовывать дроби, числитель и знаменатель которых являются дробными выражениями. В а р и а н т 1 Упростить выражение: а ; б. В а р и а н т 2 Упростить выражение: а ; б. Учащиеся уже знакомы с аналогом изучаемых дробей — «многоэтажными» числовыми дробями. Они должны знать несколько приёмов упрощения таких выражений. Поэтому достаточно рассмотреть пример 3 из учебника. Формирование умений и навыков. В о п р о с ы у ч а щ и м с я: — Сформулируйте правила действий с дробными выражениями. В а р и а н т 1 Упростить выражение: а ; б. В а р и а н т 2 Упростить выражение: а ; б. В а р и а н т 1 Упростить выражение: а ; б. В а р и а н т 2 Упростить выражение: а ; б. В а р и а н т 1 Упростить выражение: а ; б. У р о к 19 Нахождение среднего гармонического ряда положительных чисел Цели: формировать умение отыскивать среднее гармоническое для ряда положительных чисел; продолжить формирование умения выполнять преобразования дробных выражений. Вычислите: а ; г. Найдите среднее арифметическое чисел: а 7 и 10; б 3,5 и 13; в 0,5 и ; г. Объяснение лучше начать с задачи на вычисление средней скорости, в которой данные будут числовыми. Какова была средняя скорость на всём пути? Очень часто учащиеся допускают ошибку: находят среднюю скорость как среднее арифметическое данных скоростей. Важно, чтобы они осознали, что так отыскивать среднюю скорость нельзя. Чтобы найти среднюю скорость, нужно разделить весь пройденный путь на общее время движения на этом пути. Если обозначить длину дистанции за S км, то в первый раз лыжник потратил на её прохождение ч, а второй — ч. Получим: — Упростим полученное дробное выражение:. После того как учащиеся решат эту задачу, привести пример 4 из учебника, в котором показан общий вид решения подобных задач. Далее вводится понятие среднего гармонического ряда положительных чисел. Формирование умений и навыков. На этом уроке учащиеся выполняют задания двух групп. В первой группе будут задачи на нахождение среднего гармонического ряда положительных чисел, а во второй — задания на преобразование дробных выражений. Таким образом, исходное выражение не зависит от значений a и b. В о п р о с ы у ч а щ и м с я: — Сформулируйте правила действий с дробными выражениями. В в е д е н и е ф у н к ц и и обратная пропорциональность. Начать нужно с рассмотрения реальных процессов и ситуаций. Пешеходу надо пройти 12 км. Площадь прямоугольника равна 60 см 2 , а одно из его измерений равно а см. Количество товара т , которое можно купить на одну и ту же сумму денег в 500 р. Полученные в примерах формулы выносятся на доску: Далее спросить учащихся, что общего имеют все данные формулы. На доску выносится з а п и с ь: Полезно предложить учащимся устное задание, проверяющее правильность усвоения новой функции. Укажите, какие из функций являются обратной пропорциональностью. По этому графику описать некоторые свойства функции. Формирование умений и навыков. Формирование умений и навыков. Выберите из них те, которые: а имеют два корня; б имеют два рациональных корня; в имеют два иррациональных корня; г имеют один корень; д не имеют корней. Составьте какое-нибудь уравнение, имеющее корни: а 7 и —7; б 0,2 и —0,2; в и —. Необходимо, чтобы учащиеся составили к каждому случаю несколько уравнений. Можно устроить своеобразное соревнование: у кого из них получится больше различных уравнений. В о п р о с ы у ч а щ и м с я: — Что называется арифметическим квадратным корнем из числа? От чего это зависит? У р о к 2 29 Вычисление значений выражений, содержащих квадратные корни Цели: продолжить формирование умений преобразовывать выражения, содержащие квадратные корни. Формирование умений и навыков. Все задания, которые будут выполнять учащиеся на этом уроке, можно разбить на две группы. В первую группу войдут задания на нахождение допустимых значений переменных, входящих в выражения с квадратным корнем. Во второй группе будут задания на вычисление значений выражений, содержащих квадратные корни. Укажите несколько значений переменной х , при которых выражение имеет смысл. Найдите значение выражения: а ; б ; в ; г ; д ; е. Некоторым сильным в учебе учащимся можно предложить карточки. При каких значениях переменной х имеет смысл выражение: а ; б ; в? При каких значениях переменной х имеет смысл выражение: а ; б ; в? Найдите значение выражения: а ; в ; б ; г. Найдите значение выражения: а ; в ; б ; г. От чего это зависит? У р о к 30 нахождение приближенных значений квадратного корня с помощью оценки и на калькуляторе Цели: формировать умение находить приближенные значения квадратного корня при помощи оценки и на калькуляторе. Объяснение материала проводится согласно пункту учебника. Сначала показать учащимся, как найти приближённое значение квадратного корня, оценивая его. При этом желательно привлекать учащихся к «открытию» этого способа. Затем попросить их сформулировать, как с помощью оценки может быть найдено приближённое значение любого квадратного корня. После этого объяснить учащимся, как применяется калькулятор для извлечения квадратных корней, приведя несколько примеров. Формирование умений и навыков. Все задания, выполняемые учащимися, можно разбить на две группы: в одну группу войдут задания на нахождение приближенных значений квадратных корней с помощью оценки, а в другую — с помощью калькулятора. Площадь квадрата равна 5 см 2. Чему равна его сторона? Дайте точный ответ, записав его с помощью знака , и приближённый, выразив результат десятичной дробью с двумя знаками после запятой. С помощью калькулятора найдите значение для всех натуральных п от 1 до 10. Заполните таблицу, указывая приближённое значение с тремя знаками после запятой. Используя таблицу, сравните и , и , и. Тест с последующей проверкой. «+» — согласен с утверждением; «—» — не согласен с утверждением. Утверждения: 1 — это иррациональное число; 2 — это иррациональное число; 3 — это действительное число; 4 — это действительное число; 5 меньше 1; 6 больше ; 7 любое иррациональное число заключено между двумя целыми числами; 8 если число стоит под корнем, то оно иррациональное; 9 меньше, чем — ; 10 заключено между числами 7 и 8. Учащиеся, сидящие за одной партой, обмениваются ключами к тесту. Учитель снова читает все десять утверждений, каждое из которых обсуждается. Одновременно учащиеся проверяют свои работы и выставляют друг другу о т м е т к и п о с л е д у ю щ е й ш к а л е: «5» — все ответы верные; «4» — одна или две ошибки; «3» — три или четыре ошибки; «2» — более четырёх ошибок. Затем можно ещё задать в о п р о с ы у ч а щ и м с я: — Как найти приближённое значение квадратного корня с помощью метода оценки? Объяснение проводится согласно пункту учебника. Формирование умений и навыков. При сравнении квадратного корня с рациональным числом можно это число записать в виде корня. В о п р о с ы у ч а щ и м с я: — Что называется арифметическим квадратным корнем из числа а? Формирование умений и навыков. Расположите числа в порядке убывания: а 5; ; ; 7 ; б 0,25; ; и. Это параллельные прямые, которые образуют острый угол с положительным направлением оси абсцисс. У р о к 1 33 Вычисление квадратного корня из произведения и дроби Цели: выявить и доказать свойства квадратного корня; формировать умение непосредственно применять их при вычислениях. При объяснении необходимо показать преимущество, которое дает при вычислениях использование свойств корней. Это будет способствовать созданию у учащихся мотивации к осознанному восприятию материала. Начать можно с того, что предложить учащимся на калькуляторе вычислить значения нескольких корней: 1 ; 2 ; 3. После этого предложить другой способ вычисления без использования калькулятора: ; ;. Предложить учащимся сравнить полученные результаты и сделать предположение. После того как учащиеся сделают предположение, что такой прием будет справедлив для любых неотрицательных чисел, попросить их сформулировать данное свойство. Затем учитель четко сам формулирует свойство: корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел. Проводится доказательство свойства, а на доску выносится запись: Аналогично формулируется второе свойство и выносится на доску его запись: Далее предложить учащимся вычислить. Большинство из них догадаются внести множители под общий корень. Формирование умений и навыков. На этом уроке основное внимание следует уделить непосредственному применению изученных свойств квадратных корней при вычислениях. В о п р о с ы у ч а щ и м с я: — Сформулируйте свойство вычисления корня из произведения неотрицательных чисел. У р о к 2 34 Квадратный корень из произведения и дроби при преобразовании выражений с корнем Цели: продолжить формирование умения применять свойства квадратного корня при преобразовании выражений. Формирование умений и навыков. Р е ш е н и е Это задание может вызвать затруднения у учащихся. Раньше им встречались выражения вида , в которых и извлекались. При выполнении данного номера это свойство корней напрямую применять нецелесообразно. Необходимо подкоренное выражение представить в виде произведения таких множителей, из которых корень извлекается. В этом случае следует предложить учащимся вычислить значение подкоренного выражения, извлечь корень и сравнить полученные результаты. Данный пример помогает избежать подобных ошибок в дальнейшем и еще раз заостряет внимание учащихся на свойствах квадратных корней. Если в примерах а и б учащиеся просто могут вычислить значение подкоренного выражения и извлечь корень, то в следующих примерах это можно сделать только при помощи калькулятора. Чтобы учащиеся «увидели» формулу разности квадратов, нужно требовать вычислений без калькулятора. Некоторым сильным в учебе учащимся дополнительно можно предложить выполнить задания по карточкам. Расположите в порядке возрастания числа:. Найдите значение выражения: а ; б ; в. Известно, что a 0? Вычислите: а ; б — 1; в. Найдите значение выражения: а ; б ; в ; г. Укажите две последовательные десятичные дроби с одним знаком после запятой, между которыми заключено число. При каких значениях переменной х имеет смысл выражение? Вычислите: а ; б ; в. Найдите значение выражения: а ; б ; в ; г. Формирование умений и навыков. На этом уроке основное внимание следует уделить вопросу определения количества корней квадратного уравнения с помощью дискриминанта. В о п р о с ы у ч а щ и м с я: — На чем основан вывод формулы корней квадратного уравнения? У р о к 3 48 Решение квадратных уравнений по формуле Цели: продолжить формирование умения решать квадратные уравнения по формуле. Формирование умений и навыков. На этом уроке основное внимание следует уделить непосредственному применению алгоритма вычисления корней квадратного уравнения по формуле. Важно, чтобы учащиеся запомнили этот алгоритм, а также желательно, чтобы они начали запоминать формулу корней. Во избежание формального применения алгоритма на этом уроке следует решать упражнения, в которых требуется проводить преобразования квадратного уравнения к общему виду. Кроме того, следует приучать учащихся преобразовывать даже квадратные уравнения стандартного вида к более «удобным», решение которых будет менее громоздким и трудным, чем решение исходного уравнения. Для этого следует обратить внимание на т р и с л у ч а я, встречающиеся при решении квадратных уравнений: 1 Коэффициент а является отрицательным. Нужно домножить обе части уравнения на —1. Нужно разделить обе части уравнения на этот делитель. Нужно умножить обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей дробей, чтобы коэффициенты стали целыми возможны исключения. Также на этом уроке следует чередовать полные и неполные квадратные уравнения, чтобы учащиеся осознанно выбирали рациональный способ решения: по общей формуле либо по одному из алгоритмов решения неполного квадратного уравнения. О т в е т: —0,2; 1,7. При решении этого квадратного уравнения нецелесообразно домножать обе части уравнения на число, чтобы получить целые коэффициенты. Наоборот, работа с дробным свободным членом позволяет упростить ход вычислений. Абсциссы точек пересечения графиков будут являться решением данного уравнения. В о п р о с ы у ч а щ и м с я: — Как определить количество корней квадратного уравнения? У р о к 4 49 Решение квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом Цели: вывести формулу II нахождения корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом; формировать умения применять формулы I и II для решения квадратных уравнений. Решая это уравнение, учащиеся вынуждены проводить вычисления достаточно громоздкие, в отличие от ранее решаемых уравнений. Можно теперь сообщить учащимся, что для решения квадратных уравнений, у которых второй коэффициент четный, существует другая формула корней, позволяющая упростить вычисления. Вывод этой формулы проводится согласно пункту учебника. Как видим, вычисления можно произвести «в уме», так как все значения квадратов чисел — табличные. Формирование умений и навыков. Все у п р а ж н е н и я, решаемые на этом уроке, можно разбить на три группы: 1-я г р у п п а. Упражнения на непосредственное применение формулы II корней квадратного уравнения. Упражнения с выбором формулы I или II корней квадратного уравнения в зависимости от второго коэффициента. При решении этих упражнений демонстрируем учащимся применение новой формулы для случая, когда корни уравнения являются иррациональными. Для этого вызываем двух учеников к доске и параллельно проводим решение по разным формулам. Таким образом, получаем такие же корни. Эти упражнения можно предложить сильным в учебе учащимся, сократив для них количество заданий из 1-й и 2-й группы. Значит, х 1 и х 4 — взаимно-обратные числа. Аналогично доказывается, что x 2 и x 3 — взаимно-обратные числа. Чтобы определить количество корней, необходимо оценить дискриминант. В о п р о с ы у ч а щ и м с я: — В каких случаях применяется формула II корней квадратного уравнения? У р о к 1 50 Квадратное уравнение как математическая модель текстовой задачи Цели: ввести понятие «математическая модель», выделить этапы решения задач алгебраическим методом; формировать умение составлять квадратное уравнение по условию задачи и решать его. Сколько корней имеет уравнение? Сколько корней имеет уравнение? Объяснение следует начать с решения конкретной с. В процессе её решения учащиеся открывают н о в ы й ф а к т: корень уравнения, составленного по условию задачи, может не удовлетворять этому условию. В то же время полученные при решении квадратного уравнения два различных корня могут одновременно отвечать условию задачи. Поэтому возникает необходимость интерпретации полученного решения. Важно, чтобы учащиеся осознали значимость новой ситуации и вместе с учителем чётко выделили этапы решения задачи алгебраическим методом: 1. Анализ условия задачи и его схематическая запись. Перевод естественной ситуации на математический язык построение математической модели текстовой задачи. Решение уравнения, полученного при построении математической модели. Четвёртый этап решения задачи алгебраическим методом является принципиально новым для учащихся, поэтому на нём следует заострить внимание. Можно попросить учащихся привести примеры ситуаций, когда полученный корень уравнения может противоречить условию задачи. В процессе обсуждения этого вопроса можно выделить несколько самых распространённых ситуаций: 1 Корень уравнения является отрицательным числом, когда за неизвестное принята какая-то мера, которая может выражаться только положительным числом н а п р и м е р, длина, площадь, объём и т. При решении задач учащиеся могут в процессе интерпретации полученных решений соотносить ситуации с тремя выделенными. Формирование умений и навыков. Р е ш е н и е Пусть х см — длина одного катета прямоугольного треугольника, тогда 23 — х см — длина второго катета. Оба корня удовлетворяют условию задачи. В задаче встречается понятие «последовательные натуральные числа». Нужно убедиться, что учащиеся понимают, о чём идёт речь. Р е ш е н и е А н а л и з: Пусть х см — ширина листа картона, тогда длина оставшейся части картона равна 26 — 2 х см, а её площадь равна х 26 — 2 х см 2. Р е ш е н и е Пусть х — число рядов в кинотеатре, тогда х + 8 — число мест в ряду. Количество мест в кинотеатре равно х · х + 8. В о п р о с ы у ч а щ и м с я: — Что понимается под математической моделью текстовой задачи? У р о к 2 51 Решение задач с помощью квадратных уравнений Цели: продолжить формирование умения решать текстовые задачи с помощью составления квадратных уравнений. Формирование умений и навыков. Р е ш е н и е Пусть х — число обезьян в стае, тогда обезьян спряталось в гроте. О т в е т: 50 обезьян. Р е ш е н и е — Пусть х — количество сторон в выпуклом многоугольнике, тогда х + 25 — количество диагоналей в нём. О т в е т: в десятиугольнике. При решении этой задачи используются элементы комбинаторики, поэтому следует разобрать её с учителем. Р е ш е н и е — Пусть х — количество участников турнира, тогда каждый участник играл с х — 1 участником. Количество комбинаций равно х х — 1. Но так как в комбинации участвует два человека, а партия одна, то число партий равно. О т в е т: 10 участников. Р е ш е н и е — Пусть х , х + 1 , х + 2 — три последовательных целых числа. Оба корня удовлетворяют условию задачи, значит, это последовательные числа 16; 17; 18 или —18; —17; —16. О т в е т: 16; 17; 18 или —18; —17; —16. Два последовательных чётных числа таковы, что квадрат большего из них в 9 раз больше меньшего числа. Одну сторону квадрата уменьшили на 2 см, а другую — на 1 см и получили прямоугольник с площадью 6 см 2. Найдите длину стороны квадрата. Изобразите квадрат и прямоугольник. Два последовательных нечётных числа таковы, что квадрат большего из них в 9 раз больше меньшего числа. Одну сторону квадрата увеличили на 2 см, а другую — на 1 см и получили прямоугольник с площадью 12 см 2. Найдите длину стороны квадрата. Изобразите квадрат и прямоугольник. В зависимости от уровня подготовки класса можно сократить содержание проверочной работы до одной задачи. Пусть х и х + 2 — два последовательных чётных числа. Пусть х см — сторона квадрата, тогда х — 2 см и х — 1 см — стороны прямоугольника. Пусть х и х + 2 — два последовательных нечётных числа. Пусть х см — сторона квадрата, тогда х + 2 см и х + 1 см — стороны прямоугольника. В о п р о с ы у ч а щ и м с я: — Какие этапы выделяют при решении задачи алгебраическим методом? У р о к 1 52 Доказательство теоремы Виета и её применение Цели: изучить теорему Виета; формировать умение применять теорему Виета и обратную ей теорему при решении приведённых квадратных уравнений. «О т к р ы т и е» теоремы Виета. Целесообразно организовать лабораторную исследовательскую работу. Для этого разбить класс на пять групп, каждой из которых дать решить приведённое квадратное уравнение. После его решения один представитель от каждой группы выходит к доске и заполняет соответствующую строку в таблице: После этого учитель предлагает учащимся сравнить сумму и произведение полученных корней с коэффициентами b и c и выдвинуть гипотезу. Учитель подтверждает сделанное предположение, сообщая, что данное утверждение называется теоремой Виета, обращая внимание учащихся, что эта теорема справедлива для приведенных квадратных уравнений. Можно привести краткий исторический материал о жизни и деятельности Франсуа Виета. Рассмотреть доказательство теоремы можно как по учебнику с. При выполнении этого задания необходимо предотвратить формальное применение теоремы Виета. Нужно убедиться, что квадратное уравнение имеет корни. Если учащиеся сами не выскажут эту мысль, то при решении третьего задания предложить им найти дискриминант уравнения и сделать соответствующий вывод. Т е о р е м а В и е т а для неприведённого квадратного уравнения. При выполнении устной работы в начале урока учащиеся вспомнили, как преобразовать квадратное уравнение в приведённое. Следует предложить им самостоятельно вывести формулы для неприведённого квадратного уравнения, используя теорему Виета. Т е о р е м а, обратная теореме Виета. Обращаем внимание учащихся, что по теореме Виета мы можем только убедиться в правильности нахождения корней с помощью дискриминанта. Возникает вопрос, а если мы подберем такие числа, которые в сумме будут равны второму коэффициенту с противоположным знаком, а в произведении — свободному члену, то не будут ли они являться корнями уравнения? Подчеркиваем, что мы хотим воспользоваться утверждением, обратным теореме Виета, значит, мы должны его доказать. Работа с теоремой Виета и обратной ей теоремой позволяет формировать элементы математической культуры учащихся. После рассмотрения по учебнику доказательства теоремы привести примеры нахождения корней квадратного уравнения подбором. Формирование умений и навыков. Все упражнения, выполняемые на этом уроке, можно разбить на две группы: 1-я г р у п п а. Упражнения на непосредственное применение теоремы Виета. Упражнения на нахождение подбором корней приведённого квадратного уравнения. Каждое из следующих уравнений имеет по два корня: х 1 и х 2. В о п р о с ы у ч а щ и м с я: — Сформулируйте теорему Виета. У р о к 2 53 Применение теоремы Виета и обратной ей теоремы Цели: продолжить формирование умения применять теорему Виета и обратную ей теорему при решении приведённых и неприведённых квадратных уравнений. Формирование умений и навыков. На этом уроке учащиеся решают приведённые и неприведённые квадратные уравнения с помощью теоремы, обратной теореме Виета. На первых порах учащимся может быть трудно подбирать корни устно, поэтому стоит предложить им обозначать корни уравнения и записывать соответствующие равенства. Обратить внимание учащихся, что подбор корней начинаем с оценивания произведения корней, то есть находим делители свободного члена квадратного уравнения. После выполнения этого упражнения можно рассмотреть с учащимися два способа нахождения корней квадратного уравнения, вытекающие из теоремы Виета. В буквенном виде это может быть записано так: 6. Сильным в учебе учащимся можно предложить для решения задачи повышенной трудности. Через х 1 обозначим больший корень. В о п р о с ы у ч а щ и м с я: — Сформулируйте теорему Виета и обратную ей теорему. А если с — отрицательное число? Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 24 см 2. Найдите другой корень и коэффициент р. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56 см 2. Найдите другой корень и свободный член q. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь 36 см 2. Найдите длины сторон прямоугольника. Найдите другой корень и коэффициент р. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь 24 см 2. Найдите длины сторон прямоугольника. Найдите другой корень и свободный член q. Решение вариантов контрольной работы В а р и а н т 1 1. Пусть х см — одна сторона прямоугольника, тогда вторая сторона см, что составляет 10 — х см. Оба корня удовлетворяют условию задачи. Пусть х см — одна сторона прямоугольника, тогда вторая сторона см, что составляет 15 — х см. Оба корня удовлетворяют условию задачи. Пусть х см — одна сторона прямоугольника, тогда вторая сторона см, что составляет 13 — х см. Оба корня удовлетворяют условию задачи. Пусть х см — одна сторона прямоугольника, тогда вторая сторона см, что составляет 11 — х см. Оба корня удовлетворяют условию задачи. У р о к 1 55 Понятие дробного рационального уравнения Цели: ввести понятие дробного рационального уравнения, формировать умение применять алгоритм решения дробного рационального уравнения. Анализ результатов контрольной работы. Проанализировать и исправить ошибки, допущенные учащимися при решении контрольной работы. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся. Какие из выражений являются целыми, какие — дробными? Укажите допустимые значения переменной в выражении: а 2 х 2 — 8; б ; в ; г ; д ; е. Объяснение следует проводить в н е с к о л ь к о э т а п о в. В в е д е н и е п о н я т и я дробного рационального уравнения. Во время проведения устной работы были актуализированы следующие знания учащихся: целые выражения, дробные выражения, рациональные выражения, допустимые значения переменных. Целесообразно предложить учащимся самим сформулировать понятие дробного рационального уравнения. Следует акцентировать их внимание на то, что наличие дроби в выражении не свидетельствует о том, что это дробное выражение уравнение , необходимо присутствие переменной в знаменателе дроби. Р а с с м о т р е н и е а л г о р и т м а решения дробного рационального уравнения. Рассматривая способ решения дробного рационального уравнения, учащиеся используют приём аналогии: решая целое уравнение с числом в знаменателе, они умножают обе части уравнения на общий знаменатель, что позволяет избавиться от дробей. Возникает идея применить этот приём для нового вида уравнений. После домножения обеих частей уравнения на общий знаменатель, следует спросить учащихся, что произошло с областью допустимых значений уравнения? Она «расширилась» и теперь допустимыми стали любые значения переменных, то есть полученное уравнение не равносильно исходному. Следует задать вопрос: как же следует поступить в этом случае? Затем формулируется алгоритм решения дробного рационального уравнения: 1 Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение; 2 умножить обе части уравнения на общий знаменатель; 3 решить полученное целое уравнение; 4 исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель. Формирование умений и навыков. На этом уроке отрабатывается применение алгоритма решения дробных рациональных уравнений. Не следует предлагать для решения упражнения, требующие преобразования знаменателей по формулам сокращенного умножения перед нахождением общего знаменателя. Общий знаменатель у + 3. Умножим обе части на общий знаменатель дробей. При обоих значениях у знаменатель не обращается в нуль. Общий знаменатель дробей х — 2. Умножим обе части на общий знаменатель дробей. Общий знаменатель дробей х + 7 х — 1. Общий знаменатель дробей 2 х + 3 3 — 2 х. Умножим обе части на общий знаменатель. Можно предложить учащимся другой способ исключения посторонних корней. Как уже говорилось, при домножении обеих частей уравнения на общий знаменатель дробей, мы изменяем область допустимых значений выражений, входящих в запись уравнения. Можно тогда сперва определить ОДЗ любые числа, кроме тех, которые обращают знаменатель в нуль , а в конце проверить, входят ли полученные корни в ОДЗ или нет. В о п р о с ы у ч а щ и м с я: — Какое уравнение называется дробно-рациональным? У р о к 2 56 Решение дробных рациональных уравнений Цели: продолжить формирование умения решать дробные рациональные уравнения по алгоритму. Формирование умений и навыков. На этом уроке отрабатывается умение находить общий знаменатель дробей, выполнив предварительно разложение знаменателей дробей, входящих в уравнение, вынесением общего множителя либо по формулам сокращенного умножения. Общий знаменатель дробей x 3 x — 1 2 3 x + 1. На этом примере наглядно демонстрируем учащимся необходимость разложения знаменателей на множители для последующего «составления» общего знаменателя.
